(如果你第一次看這個專欄,請從第一集開始,才不會先看答案再看題目,失去推理的樂趣)
威力彩一直沒有威力,在去年年初開賣時,每注金額一百元;第一期(2008/1/22)開賣至今(2009.04.05)計440天(共125期),總銷售金額 16,961,893,300,造就 8 位億萬富翁、10 位頭獎得主。只有一、二個月有超過上億的營業額,頭獎獎金曾因連續槓龜三十七期,高達十九億六千多萬,在六億多的簽注金額中,被二位幸運者抱走頭彩,其餘時間,簽注金額一直都在億元以下。
大樂透就幸運多了,頭獎保證一億,每注金額五十元。開賣時,廣告詞是:『要玩就玩大的!』,果然,每期簽注金額一直維持在億元以上。第一期(2007/1/1)開賣至今(2009.04.05)計826天(共236期),總銷售金額 47,383,211,550,造就 42 位億萬富翁、73 位頭獎得主。
我們來看中獎率及期望值:
大樂透:總獎金支出率=55%,普獎獎金固定為每注新台幣400元;陸獎獎金固定為每注1,000元。頭獎至伍獎之實際中獎金額係由總獎金扣除陸獎及普獎之餘額後,依下列獎金分配比率及實際中獎注數分配之(58%、9%、9%、5%、19%)。以每期一億五千萬投注金來計算,平均獲獎之彩金如下(尚未評估累積獎金):
|
彩金 |
中獎機會 |
期望值 |
中獎率 |
頭獎(六碼全中) |
100000000 |
13983816 |
7.151124 |
7.15112E-08 |
二獎(中五碼+特別號) |
5300000 |
2330636 |
2.274057 |
4.29067E-07 |
三獎(中五碼) |
120000 |
55491 |
2.1625 |
1.80208E-05 |
四獎(中四碼+特別號) |
20000 |
22197 |
0.991146 |
4.50521E-05 |
五獎(中四碼) |
4000 |
1083 |
3.694271 |
0.000923568 |
六獎(中三碼+特別號) |
1000 |
812 |
1.231424 |
0.001231424 |
普獎(中三碼) |
400 |
61 |
6.567592 |
0.01641898 |
總期望值是:24.07211,總中獎率是:1.8638%,就是說你花五十元,你有1.8638%的機會會得到24.07211元!
(互相嵌入的正方體)
威力彩:總獎金支出率=52.5%,參獎、肆獎、伍獎、陸獎、柒獎、捌獎及普獎每注獎金分別固定為新台幣150,000元、20,000元、4,000元、800元、400元、200元及100元。頭獎及貳獎之實際中獎獎金係由總獎金扣除參獎至普獎之總額後,依下列獎金分配比率及實際中獎注數分配之(86%、14%)。頭獎保證金額從新台幣4億元起算,若當期頭獎無人中獎,次期頭獎保證金額增加1000萬元,直到頭獎保證金額累加至5億元止。
以每期一億投注金來計算,平均獲獎之彩金如下(尚未評估累積獎金):
|
彩金 |
中獎機會 |
期望值 |
中獎率 |
頭獎(中六碼+特別號) |
400000000 |
22085448 |
18.11147 |
4.53E-08 |
二獎(中六碼) |
5300000 |
2760681 |
1.919816 |
3.62E-07 |
三獎(中五碼+特別號) |
150000 |
115028 |
1.304026 |
8.69E-06 |
四獎(中五碼) |
20000 |
14379 |
1.390961 |
6.95E-05 |
五獎(中四碼+特別號) |
4000 |
2968 |
1.347494 |
0.000337 |
六獎(中四碼) |
800 |
371 |
2.15599 |
0.002695 |
七獎(中三碼+特別號) |
400 |
74 |
5.389974 |
0.013475 |
八獎(中二碼+特別號) |
200 |
41 |
4.884664 |
0.024423 |
普獎(中一碼+特別號) |
100 |
18 |
5.470824 |
0.054708 |
總期望值是:41.97522,總中獎率是:9.5717%,就是說你花一百元,你有9.5717%的機會會得到41.97522元!
這時候你該買大樂透?威力彩?
答案下期揭曉!
上期(左右為難?)答案:
三個信封裡頭有一個是大獎,當阿才從其中選取一個時,他選中大獎的機率是三分之ㄧ,
剩下二個信封內,裝著大獎的機會有三分之二,節目主持人將剩下二個信封的其中另一個信封打開,裡面寫的是小獎讓大家看,接著,節目主持人拿那個尚未打開的信封,問阿才說:『我用這個信封裡的獎項,換你信封裡的獎項,你換是不換?』這個時候,他已經排除是小獎的一個,理論上剩下的那個信封,大獎的機率提高至三分之二!
阿才這時候以手中三分之ㄧ的機會,換去三分之二的機會,應該是非常合理的推論。
但是,機率的問題在於長期有效,短期可不一定!
骰子連續丟六次,可不保證每個數字都會出現一次(短期無效),如果骰子是『公正』不灌鉛的,丟六萬次,每個數字出現的機會應該接近六分之ㄧ(長期有效)。
阿才有三分之ㄧ的機會拿到小獎,在單一事件裏,不保證有效!如果阿才手中拿的就是大獎,去換那個『不保證是大獎』的獎項,豈不是 -- 黃鼠狼抱雞毛撣子(空歡喜一場),所以阿才這時候是左右為難!
純粹理性的人會換,因為以手中三分之ㄧ的機會,換去三分之二的機會,是理性的決定!
這個題目的結論:
A、如果你沒有理由,就是不換(或者換),你是一個隨性的人。
B、 如果你算過機率,以為你作了一個好交易,機會因此增加一倍,你是太樂觀了,因為機率在單獨事件中,並不會有理論值的結論。
C、如果你知道長期有效,短期不一定;你還是作了換(或不換)的決定,你是純粹理性的選擇(不保證是好的選擇)。
D、如果你就是不換,你是一個宿命的人。
E、 行為背後應該有思考的基礎,沒有思考的人,常常會做錯誤的決定。
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